GuilinDev

Lc1143

05 August 2008

1143 Longest Common Subsequence

题目

Given two strings text1 and text2, return the length of their longest common subsequence.

A subsequence of a string is a new string generated from the original string with some characters(can be none) deleted without changing the relative order of the remaining characters. (eg, “ace” is a subsequence of “abcde” while “aec” is not). A common subsequence of two strings is a subsequence that is common to both strings.

If there is no common subsequence, return 0.

Example 1:

1
2
3

Input: text1 = "abcde", text2 = "ace" 
Output: 3  
Explanation: The longest common subsequence is "ace" and its length is 3.

Example 2:

1
2
3

Input: text1 = "abc", text2 = "abc"
Output: 3
Explanation: The longest common subsequence is "abc" and its length is 3.

Example 3:

1
2
3

Input: text1 = "abc", text2 = "def"
Output: 0
Explanation: There is no such common subsequence, so the result is 0.

Constraints:

  • 1 <= text1.length <= 1000
  • 1 <= text2.length <= 1000
  • The input strings consist of lowercase English characters only.

分析

这个是典型的二维DP，可以看作以下的DP表格：

1） 状态定义，为了方便理解此表，暂时认为索引是从 1 开始的，待会的代码中只要稍作调整即可。其中，dp[i][j] 的含义是：对于 s1[1..i] 和 s2[1..j]，它们的 LCS 长度是 dp[i][j]。

比如上图的例子，d[2][4] 的含义就是：对于 “ac” 和 “babc”，它们的 LCS 长度是 2。最终想得到的答案应该是 dp[3][6]。

2） 初始化base case，专门让索引为 0 的行和列表示空串，dp[0][..] 和 dp[..][0] 都应该初始化为 0，这就是 base case。比如说，按照刚才 dp 数组的定义，dp[0][3]=0 的含义是：对于字符串 “” 和 “bab”，其 LCS 的长度为 0。因为有一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0。

注：二维DP表中，初始化的两条边在数组创建后本身就为0。

3）这是动态规划最难的一步，不过这种字符串问题的套路都差不多。状态转移说简单些就是做选择，比如说这个问题，是求 s1 和 s2 的最长公共子序列，不妨称这个子序列为 lcs。那么对于 s1 和 s2 中的每个字符，有什么选择？很简单，两种选择，要么在 lcs 中，要么不在。

这个「在」和「不在」就是选择，关键是，应该如何选择呢？这个需要动点脑筋：如果某个字符应该在 lcs 中，那么这个字符肯定同时存在于 s1 和 s2 中，因为 lcs 是最长公共子序列嘛。所以本题的思路是这样：

  • 用两个指针 i 和 j 从后往前遍历 s1 和 s2，如果 s1[i]==s2[j]，那么这个字符一定在 lcs 中；
  • 否则的话，s1[i] 和 s2[j] 这两个字符至少有一个不在 lcs 中，需要丢弃一个

对于第一种情况，找到一个 

1

lcs
中的字符，同时将 
1

i

1

j
向前移动一位，并给 
1

lcs
的长度加一；对于后者，则尝试两种情况，取更大的结果。相应代码（以从后向前为例，这道题从前往后也可以的）：

1
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for i in range(1, m + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
            # 找到一个 lcs 中的字符
            dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j-1]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
return dp[-1][-1]

对于 

1

s1[i]
和 
1

s2[j]
不相等的情况，至少有一个字符不在 
1

lcs
中，会不会两个字符都不在呢？比如下面这种情况：

相应转移方程的代码为：

1
2
3
4
5
6
7

if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
    # ...
else: # 考虑有三种情况
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], 
                   dp[i][j-1],
                   dp[i-1][j-1])

其实这样改也能得到正确答案，只是多此一举，因为 

1

dp[i-1][j-1]
永远是三者中最小的，max 根本不可能取到它。

4）考虑状态压缩，两个字符串各占一维，无法状态压缩。

代码

1
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class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int len1 = text1.length();
        int len2 = text2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1]; // 多一位是包含0个字符和0个字符的情况，初始两条为0
        
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) { // index为0的第一个字符，为dp数组中的第2个（从1开始），dp数组中的第一个元素对应空字符串
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    // 谁能让lcs更大，就听谁的，dp[i - 1][j - 1]不用考虑
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}
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